模态分析若干问题解释以及时域、频域和模态空间有什么不同？

红灯记

1、如何理解模态分析中的“阶”，一个结构有1阶，2阶，3阶......，怎么理解？

在理解“阶”之前，要先理解与“阶”紧密相连的名词“自由度”。自由度是指用于确定结构空间运动位置所需要的最小、独立的坐标个数。空间上的质点有三个自由度，分别为三个方向的平动自由度；空间上的刚体有六个自由度，分别为三个平动、三个转动自由度。一个连续体实际上有无穷多个自由度，有限元分析时将连续的无穷多个自由度问题离散成为离散的有限多个自由度的问题，此时，结构的自由度也就有限了。因此，可以这样理解，一个自由度对应一阶，连续体有无穷多阶。像弹簧--质量模型为单自由度系统，故对应的频率只有一阶。两自由度系统有两阶。一个具体的系统，每一阶对应着特定的频率、阻尼和模态振型。延伸问题：“同一个结构为什么各阶频率、阻尼和模态振型又不相同？”这是因为虽然结构还是这个结构，但是参考各阶运动的结构上的质量和刚度都不相同，参考每阶响应的并不是结构所有的质量和刚度，而是这一阶“活跃的”有效质量（结构中的部分质量），所以各阶所对应的模态参数不完全相同。

2、如何理解无阻尼固有频率、有阻尼固有频率和固有频率？

通常在振动教材中都会定义无阻尼固有频率和有阻尼固有频率，无阻尼固有频率对应的是刚度/质量的平方根，有阻尼固有频率为无阻尼的固有频率乘以（1-阻尼比平方）的平方根。书本上这么定义完全是出于方便书写公式的目的，当然了也对应的一定的物理意义。一般说来，无阻尼结构的频率便是无阻尼的固有频率，但现实中所说的固有频率，在没有特殊说明的情况下都是指有阻尼固有频率，因为现实中的结构都是有阻尼的。人们通常说的固有频率都是指有阻尼固有频率。另外，在有限元计算中，如果是实模态分析（不考虑阻尼），那么此时的求解出来的频率就是无阻尼的固有频率，如果是复模态分析（考虑非比例阻尼）得出来的固有频率是有阻尼固有频率。现实中的结构，除了含有阻尼机制的结构外，一般阻尼比都小于10%，因此，阻尼对结构的固有频率的影响是非常小的。

3、复模态和实模态什么区别？

对于无阻尼的情况，由特征值求解产生的频率和留数为纯虚数，模态振型值为带符号（+或-）的实数值，且每阶模态振型的各个自由度之间，要么彼此完全同相位，要么彼此完全反相位。
对于比例阻尼，此时阻尼与系统的质量和/或者刚度成比例。由特征值求解得出的频率为复数值，留数为纯虚数，模态振型值也为带符号（+或-）的实数值。且比例阻尼特征值求解得出的模态振型与无阻尼的情况相同，这是因为阻尼与系统的质量和/或刚度成比例。这样产生的模态称为“实模态”。因此，显然相同质量矩阵和刚度矩阵下，无阻尼和比例阻尼情况得出的模态振型完全相同。

考虑第三种情况，此时阻尼不与系统的质量和/或者刚度成比例，即非比例阻尼。此时得出的频率、留数和振型全为复数值。对于这种情况，模态振型不同于前面的两种情况。首先，模态振型是复数值。并且每阶模态的各个自由度之间的相对相位关系已不再是完全同相位或反相位了。这种情况下产生的模态称为“复模态”。这跟前面两种情况大不相同。系统阻尼与系统的质量和/或刚度不相关时，得出的模态就为复模态，此时的阻尼称为非比例阻尼。

考虑复模态时，所有的方程通常都变得更复杂。实模态与复模态之间一些简单结论总结如下：
实模态的一些特征：
1.通过驻波描述实模态，而这些驻波的节点位置是固定的；
2.所有点同一时刻通过它们的最大和最小位置处；
3.所有点同一时刻通过零点位置；
4.模态振型为带符号的实数值；
5.所有点同结构上任何其他点，要么完全同相位，要么完全反相位；
6.无阻尼得到的模态振型与比例阻尼的模态振型相同，这些振型解耠质量、阻尼和刚度矩阵。
复模态的一些特征：
1.通过行波描述复模态，节点似乎在结构上移动；
2.所有点不在同一时刻通过它们的最大值位置处，一些点似乎落后其它点；
3.所有点不在同一时刻通过零点位置；
4.模态振型不能用实数描述，为复数；
5.不同自由度之间不存在特定的相位关系，没有完全同相位或者完全180度反相关系；
6.由无阻尼情况得到的模态振型将不解耦阻尼矩阵。
为了进一步形象化这些特征，绘出了悬臂梁某阶模态所对应的复模态振型和实模态振型，如图1所示。图1a为实模态，自由度之间的相对相位关系完全同相位（如图中蓝色和红色表示的自由度）或者完全180度反相位（如图中的绿色表示的与蓝色和红色表示的自由度）。而复模态不具有这种简单的相位关系，模态振型必须通过幅值与相位或者实部与虚部两者同时描述，如图1b所示。图1是有意去形象化它们之间的相位关系。
如果在进行复模态分析时，发现求解出来的特征值是纯虚部，这时就得考虑是不是实际上是在进行实模态分析。

4、什么是模态分析？

通过求解振动特征方程，可以得到特征值与特征向量，即可得到相应的固有频率与模态！再由初始条件可以求得响应。
模态分析可以得到系统结构的固有频率与固有模态；频响分析则可以得到系统结构的响应与频率之间的关系！这样系统的振动特性就明朗了。

“频率响应分析可以更加直观地看出系统在宽频激励下，哪些频率处被激起共振。
结合模态分析的结果，可以更加深刻的了解系统的动态特性”。

模态分析和频率响应分析的确是两个不同的概念。模态是结构固有的一种特性，它只与结构的形状、约束形式、材料特性等有关，而与其他输入（例如加载）无关。而频率响应分析则是指结构对一载荷（可以是冲击载荷，也可能是一频率在一定范围内的载荷）的响应。
模态分析主要目的有：了解结构的共振区域，为结构设计提供一定的指导；对计算模型进行校验，验证你做仿真计算的模型是否正确；开展瞬态分析、谱分析的基础。
频率响应分析的目的是确定结构上两点的输入输出关系（一般以频率为横坐标）。

模态分析中，如果打开计算单元应力选项，对应每一阶固有频率，就有对应的应力分布。想请教一下这个模态应力有什么实际意义吗？
还是就是代表此频率下结构发生变形后的应力分布？
个人觉得没什么意义吧，因为应力是由位移场求得的，而模态位移场只是归一化之后的“相对”量，要求得实际载荷下的应力还是要通过静力学分析或者动力学分析吧。

模态分析得到的应力是相对应力，和模态变形的相对概念是一样的。

谐响应分析和瞬态分析得到的应力应该是真实的

分享一下：谐响应分析后在POST1中对应频率下查看的应力和位移是结构的真实应力和位移，由此可以判断结构的最大响应部位。而模态分析，以及在模态分析基础上的随机振动分析所得到的应力和位移是相对的，仅具有相对参考价值；

固有频率是某种物质特有的固定震动频率。我们知道，每种物质都会震动。但因为物质中微观粒子的差异性，每种物质的频率都不同。物质在一定频率的外力作用下会以该外力的频率震动，在物理学上叫受迫震动。但因为会消耗能量，所以受迫震动的震福会变小。当外力的频率与物质的固有频率相同时，震福会达到最大。也就是发生了共震！这也就是共振频率。

模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。

模态分析就是结构的固有振动特性分析。这种分析用于确定结构的固有频率和振型，其分析结果可作为瞬态动力学分析，谐响应分析和谱分析等其他动力分析的基础。
模态分析的实质是计算结构振动特征方程的特征值和特征向量。

5、时域、频域和模态空间有什么不同？

这个问题经常有人问到，三者有太多的不同之处，因此让我们从一个简单的说明开始着手，不涉及太多的数学知识，用一个简单的示意图来解释。用这个图讨论时域、频域、模态空间和物理空间之间的所有不同之处。这个图有太多方面需要讨论，故将此图分成许多子块，每次讨论其中一块，最后对所有子块进行总结。你可能还记得前面进行“什么是模态分析”的讨论（“你能为我解释模态分析是什么吗？”），在这前面的讨论对我们解释这个问题有帮助作用。


首先，让我们考虑一根悬臂梁，假设在梁的自由端受到一个脉冲激励。梁自由端的响应将包含系统所有模态（图中用黑色表示时域响应）的响应，注意到这个响应是多个频率的响应。通过傅立叶变换，将梁自由端的响应从时域变换到频域。虽然傅立叶变换包含许多数学公式，但它已是一种人们一直常用的变换运算算法。时域信号的频域表达通常称为频响函数或者简写成FRF（图中用黑色绘出了频响函数），注意图中的峰值对应于系统的固有频率。

在进一步讨论时域和频域之前，先说说图中左上角的物理模型。我们知道悬臂梁有许多阶固有频率，在每一阶固有频率处，结构都将以一种确定的方式发生变形，这种变形叫做模态振型，如上一小节中描述的一样。对于这根梁，图中蓝色为第1阶弯曲模态，红色为第2阶弯曲模态，绿色为第3阶弯曲模态。当然，还有许多高阶模态没有给出，在这我们仅仅讨论前三阶模态，并且从前三阶模态可以很容易地推广到高阶模态。

这样的实体梁也可以用图中右上角的解析集中质量模型（黑色绘出）或者有限元模型来作估算。这个模型通常用方程组进行估算，这些方程组在一些不同的位置或不同自由度（DOF）之间，存在相互作用或者称为耦合。这意味着如果你推动模型中的某一个自由度，那么其他自由度也会受到影响，并且产生运动。这些耦合行为意味着为了确定系统的响应行为，这些方程将变得更为复杂。随着描述系统的方程数目变得越来越大，那么方程的复杂程度也就越来越高。通常将描述系统特征的运动方程组用矩阵形式来表示

这里[M]，[C]和[K]分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，连同相应的加速度向量、速度向量和位移向量以及外力向量一起组成运动方程。通常质量矩阵是对角阵，阻尼和刚度矩阵是带有非对角元素的对称阵，这些非对角元素确定了描述系统的不同方程或不同自由度之间的耦合程度，矩阵的大小由描述系统的方程总数决定。从数学角度讲，通过求解特征值和模态变换，将这些耦合的方程进行解耠，解耠后的方程为一组单自由度系统的运动方程，且此时转换后的新坐标系统，叫模态空间，解耠后的模态质量、模态阻尼和模态刚度矩阵全为对角阵，如：

因此我们可以看出模态转换是将方程从物理空间通过模态转换方程转换到模态空间的过程；是将一组复杂的、耦合的物理方程转换成一组单自由度系统的、解耠的方程的过程。因而，我们可以将图中的解析模型分解成一组单自由度系统，如图中所示的蓝色1阶、红色2阶和绿色3阶模态组成。模态空间使得我们更易于用单自由度系统去描述结构系统。

现在回到图中用黑色表示的时域和频域响应。我们知道系统总的响应可由每阶模态的贡献得到，图中黑色表示的总响应由1阶、2阶和3阶模态响应组成。不管是在时域还是频域描述系统，这个结论总是成立的。每个域都是等价的，仅仅是从不同的角度去描述而已。如同货币一样，从一个国家到另一个国家，每个国家的货币看起来都不相同，但是它们实质是同一个东西。所以可以看出系统总的时间响应是由各阶时间响应所组成的，即由1阶、2阶和3阶模态的时域响应贡献所组成。系统总的频响函数也是由各阶频响函数组成，即由1阶、2阶和3阶的频响函数组成（在这我们仅仅给出了频响函数的幅值部分，频响函数其实是很复杂的，正确的表示方式应该是用幅值和相位或者实部和虚部来表示）。

既然我们可以将解析模型分解成一组单自由度系统的组合，因而我们可以确定每个单自由度系统的频响函数，如图所示1阶、2阶和3阶模态。同样也可以通过一种近似解确定由脉冲引起的每个单自由度系统的时域响应，或由每个单自由度系统的FRF的傅立叶逆变换得到的时域响应。我们也可以在梁的自由端测量由脉冲引起的响应，并且过滤系统每阶模态的响应，那么我们就可以看到系统每阶模态的响应，如1阶、2阶和3阶模态（当然，我简化了许多理论，以便我们能理解这些概念）。

既然我们已经剖析了图中所有的子块部分，那么我想应该更清楚了在时域、频域、模态空间和物理空间并没有实质性的不同，仅仅是形式不同而已。每个域仅仅是为了便于描述或者察看数据。然而，有时从一个域察看某些信息会比其他的域更容易、更便捷。比如，从总的时域响应就不清楚有多少阶模态对梁的响应有贡献，但是频域的总的频响函数就能清楚显示有多少阶模态被激起和每一阶模态对应的频率是多少。因此，我们经常将数据从一个域变换到另一个域，仅仅是因为数据更易于解释。

关于这些还有太多的需要去讲解，但是我希望这些简单的、示意性的解释能从另一个角度帮助你更好地理解这些概念。

6、模态分析各种名词解释。
模态质量、模态刚度、模态阻尼，有关这三个名词可以参考百科。另外这三个量没有绝对意义，只有相对意义，是将物理量通过坐标变换到模态空间后的三个量。通常对振型缩放时，用得最多的是质量归一，而此时的质量归一说的就是将所有的模态质量都定为1，其他的量与这个量相比较。
有效质量、等效刚度，这两个名词只解释其中一个。有效质量，另一个可以类似的理解。结构的总质量是一定的，但是并不是的结构的总质量都参与各阶模态，有效质量是指参与某阶模态的质量，也可以说是“模态上”活跃的那部分质量，可能只占结构总质量的一部分，参与每一阶的质量都不完全相同，同理，刚度也是如此，正是由于参与每阶模态的质量和刚度都不完全相同（重根除外），才有不同的模态频率。

7、各阶模态振型出现的先后顺序是否有规律？
基本事实就是频率和各阶模态振型出现的次序只受结构质量和刚度分布的影响，不受其他因素影响。
为了说明各阶模态可能出现的次序，用有限元方法生成三个不同构造的平板结构，长宽比不同，求解每一个结构。下图中给出了三个不同结构的前五阶模态，从顶部到底部模态次序依次为从最低阶到最高阶（仅考虑前五阶）。其中字母B表示沿长边方向的弯曲模态，B2表示沿短边方向的弯曲模态，T表示沿对称轴的扭转模态。分析这三个不同构造的平板，可以看出平板没有特定的模态振型出现次序。从图中可以看出，每个结构的模态出现次序都不相同。
只要我们关心各阶模态振型出现的先后次序，那么有人就会问，是否沿平板长边方向的弯曲模态（B）总是比沿短边方向的弯曲模态(B2)先出现？在快速回答这个问题之前，停下来作进一步的思考……
这是一个欺诈性的问题？在回答这个问题之前，我需要思考什么？材料属性是什么？沿长边和短边的属性相同吗？如果材料是各向同性材料，那么沿长边方向的弯曲模态（B）将会先于沿短边方向的弯曲模态(B2)出现。但如果材料是加强的碳纤维复合材料，加强的碳纤维沿平板长边方向分布，那么情况又怎样呢？那么这时可能的情况是沿长边方向平板的刚度更大。因此，此时也有可能是沿短边方向的弯曲频率(B2)先于沿长边方向的弯曲频率 (B) 出现。显然，原则就是你确实需要思考这种可能性，现实中完全是可能的！
我已经设法回答了平板的各阶模态可能出现的次序这个问题。显然，任何构造的结构都有自身特有的弯曲和扭转模态，不仅仅是平板结构，其各阶模态出现的次序也不是特定，取决于质量和刚度的分布。

8、为什么对自由梁进行刚度修改，模态频率反而降低了？
如果增加任何系统的刚度，人人首先想到的是模态频率肯定增大，这是因为刚度增大了，频率会提高，但当你对结构增加刚度时，频率反而降低是没有道理的。因此，让我们分析一根两端自由的简单梁系统。两端自由的梁前三阶模态分别为164Hz、452Hz和888Hz。将自由梁约束住（变成简支梁），对其进行分析，前三阶模态分别为72Hz、288Hz和647Hz。显然，模态频率没有如预期的那样移动。因此，到底这是怎么回事呢？
通常，人们关心的是系统的弹性模态，因为这些模态是所有振动和噪声问题发生的普遍原因。但是，描述整个系统的不仅仅是这些弹性模态。基本问题是每个人都忽略了自由边界的系统不仅具有弹性模态，还具有刚体模态。很多时候，测试过程中人们不测量刚体模态，刚体模态不作为弹性模态测试的一部分。因而，从分析角度出发，很多时候进行的特征值求解，要么只求解变动的特征值问题，要么只获得弹性模态。虽然刚体模态存在，但是很多时候人们忽略了它们，这主要是因为他们不是振动和噪声问题产生的根源。因此，一旦我们意识到这个梁系统的第一阶模态频率从分析模态上得到的是0Hz或者从实测得到第一阶模态频率非常小，那么直觉告诉我们增加刚度，使得模态频率向上移动更合理些。
对于平面自由梁的前三阶频率为164Hz、452Hz和888Hz，其实在这之前还有两阶频率为0的刚体模态，一阶为平动，一阶为转动。而简支梁的前三阶频率为72Hz、288Hz和647Hz。其中，72Hz和288Hz是由自由梁的前两阶0频往上移动得到的（因为刚度增加了），简支梁的第三阶频率647Hz是由自由梁的第一阶弹性频率164Hz得到的。
所以，基本事实就是不能忽略刚体模态，它们是完全描述梁系统的一部分。